Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，不等式有且只有两个整数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减。

（2）

【解析】

（1）对函数求导，根据a的不同范围，分别求出导函数何时大于零，何时小于零，这样就可以判断出函数的单调性。

（2）不等式 可以化成，构造函数，

求导数和单调性，结合条件分别讨论，三种情况下，可以求出满足条件的a的取值范围。

（1）函数的定义域为

② 当时， 函数在上是减函数；

②当时，，当时，函数单调递增，

当时，，函数单调递减。

③当时，，当时，，函数递减，

当时，，函数单调递增。

综上所述：当时，函数在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减。

（2）

令，求导得 令

所以是R上的增函数，而

说明函数在R上存在唯一零点

此时函数在上单调递减，在上单调递增，

易证，

当时， ，当时，

（1）若时，，此时有无穷多个整数解，不符合题意；

（2）若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增

所以时， ，所以无整数解，不符合题意；

（3）当，即此时， 故0，1是的两个整数解，

又只有两个正整数解，因此 ，解得所以

综上所述的取值范围为.