Question

已知函数f（x）=2ax+

1

x

（a∈R）．
（1）当0＜a≤

1

2

时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；
（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用定义证明即可，
（2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决

解答： 解：（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，
理由如下：
设x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+

1

x1

-2ax₂-

1

x2

=2a（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=

x2-x1

x1x2

（1-2ax₁x₂），
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，0＜a≤

1

2

，
∴x₂-x₁＞0，0＜x₁•x₂＜1，0＜2ax₁x₂＜1，1-2ax₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，
（2）∵f（x）=2ax+

1

x

，
∴f′（x）=2a-

1

x2

=

2ax2-1

x2

，
①当a≤0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1]单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=2a≥6，
解得a≤3，
∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
②当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=

1 2a

，
当f′（x）＞0，即x＞

1 2a

，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜

1 2a

，函数f（x）单调递减，
当

1 2a

≥1时，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，
∴f（x）_min=f（1）=2a≥6恒成立
解得a≤3，
当

1 2a

＜1时，即a＞

1

2

时，
∴f（x）在（0，

1 2a

]上的单调递减，在（

1 2a

，1）上单调递增，
∴f（x）_min=f（

1 2a

）=2a•

1 2a

+

2a

≥6恒成立，
解得a≥

9

2

，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，

1

2

]∪[

9

2

，+∞）

点评：本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题，以及求参数的取值范围，属于中档题