Question

如图，在三棱锥A-BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F为棱BD，AD的中点，若EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：由题意可建立如下空间直角坐标系．其中点O为底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．不妨设BC=6，AB=2a．利用

FE

⊥

CF

，可得

EF

•

CF

=0，解得a=

3 2

2

．设平面ACD的法向量为

n

=（x，y，z），利用

n • DC =6y=0 n • DA = 3 x+3y+ 6 z=0

，可取

n

=（

2

，0，-1）．设直线BD与平面ACD所成的角为θ．利用sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n || BD |

即可得出．

解答： 解：由题意可建立如下空间直角坐标系．
其中点O为底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．
不妨设BC=6，AB=2a．
则OB=

2

3

×

3

2

×6=2

3

．
AO=

AB2-BO2

=2

a2-3

．
∴B(2

3

，0，0)，C(-

3

，3，0)，D(-

3

，-3，0)，
A(0，0，2

a2-3

)，E(

3

2

，-

3

2

，0)，F(-

3

2

，-

3

2

，

a2-3

)．
∴

FE

=(

3

，0，-

a2-3

)，

CF

=(

3

2

，-

9

2

，

a2-3

)．
∵

FE

⊥

CF

，
∴

EF

•

CF

=

3

2

-(a2-3)=0，解得a=

3 2

2

．
∴A(0，0，

6

)．
又

DC

=（0，6，0），

DA

=(

3

，3，

6

)．
设平面ACD的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • DC =6y=0 n • DA = 3 x+3y+ 6 z=0

，
取

n

=（

2

，0，-1）．

DB

=(3

3

，3，0)．
设直线BD与平面ACD所成的角为θ．
则sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n || BD |

=

3 6

3 ×6

=

2

2

．
∴θ=

π

4

．
故答案为：

π

4

．

点评：本题考查了正三棱锥的性质、平面的法向量、线面垂直的性质、线面角的计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．