Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若$b=\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，从而cosBsinC=sinCsinB，由此能求出A+C的值．
（2）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，从而$ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2}$，当且仅当$a=c=\sqrt{2+\sqrt{2}}$时“=”成立，由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC
因为在三角形中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）
所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC
所以cosBsinC=sinCsinB
因为C∈（0，π），sinC≠0，所以cosB=sinB即tanB=1，B∈（0，π）
所以$B=\frac{π}{4}$即$A+C=\frac{3}{4}π$．
（2）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，所以$2={a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac$，
所以$2+\sqrt{2}ac={a^2}+{c^2}≥2ac$即$ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2}$
当且仅当a=c即$a=c=\sqrt{2+\sqrt{2}}$时“=”成立，
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ac$，
所以△ABC面积的最大值为$\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查三角形两个内角和的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．