选修4-4:坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$.在以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程,与曲线C1.C2的交点分别为A.B.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．选修4-4：坐标系与参数方程
曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C₁，C₂的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，$\sqrt{3}$]时，求|OA|•|OB|的取值范围．

分析（1）先将C₁的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C₂的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C₂的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C₁，C₂的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．

解答解：（1）曲线C₁的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0，
∴曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，$\frac{π}{4}＜α≤\frac{π}{3}$）．
把射线l的参数方程代入曲线C₁的普通方程得：t²-2tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=2cosα．
∴|OA|=|t₂|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C₂的普通方程得：cos²αt²=tsinα，
解得t₁=0，t₂=$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OB|=|t₂|=$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OA|•|OB|=2cosα•$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$=2tanα=2k．
∵k∈（1，$\sqrt{3}$]，∴2k∈（2，2$\sqrt{3}$]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2$\sqrt{3}$]．

点评本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义的应用，属于中档题．

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A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{4}{3}$

D．

$\frac{1}{3}$

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（1）把曲线C₁的参数方程化为极坐标方程；
（2）求曲线C₁与曲线C₂的交点的极坐标．

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19．