Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），求数列的通项式．

Answer 1

分析 由递推公式可得a_n-a_n-1，由此利用累加法即可求得a_n，注意验证n=1时情况．

解答 解：因为a₁=3，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），
所以a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$，a₂-a₁=$1-\frac{1}{2}$，a₃-a₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，a₄-a₃=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
把以上各式加起来，得a_n-a₁=（1-）+（$\frac{1}{2}\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$（n≥2），
所以a_n=2-$\frac{1}{n}$（n≥2），
当n=1时，a₁=3不适合上式，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2-\frac{1}{n}，n≥2，n∈{N}^{•}}\end{array}\right.$

点评 本题考查由数列递推公式求数列通项公式，已知形如a_n+1-a_n=f（n）求a_n，常用累加法解决．