Question

4．下列命题：①已知A、B、C是三角形ABC的内角，则A=B是sinA=sinB的充要条件；②设$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$为向量，如果|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，则$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；③设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为向量，则“$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$”的充分不必要条件；④设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为向量，“$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$”是“$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow b$共线”的充要条件，正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根据三角形中A，B的范围和正弦函数的性质推导①，将|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|两边平方推导②，根据向量的数量积定义判断③，利用向量的共线定理判断④．

解答 解：对于①若A=B，显然sinA=sinB，
若sinA=sinB，则A=B+2kπ或A+B=π+2kπ，
∵0＜A，B＜π，0＜A+B＜π，
∴A=B．
∴A=B是sinA=sinB的充要条件，故①正确．
对于②，若|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，则${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．故②正确．
对于③，设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
若$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$，则cosθ=±1，
∴θ=0或θ=π，
∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$．
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则θ=0或θ=π，
∴|cosθ|=1，
∴$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$．
∴“$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$”的充分必要条件，故③错误．
对于④，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow b$共线，则$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，
显然“$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$”不是“$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow b$共线“的必要条件，故④错误．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积定义，充分必要条件的判断，属于中档题．