Question

9．已知a，b∈R，f（x）=|x-2|-|x-1|．
（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；
（2）对?b∈R，若|a+b|+|a-b|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解法，化简为二次不等式求解即可．
（2）求出不等式的左侧的最小值与右侧的最大值，转化为绝对值不等式求解即可．

解答 解：（1）由f（x）＞0得|x-2|＞|x-1|，
两边平方得x²-4x+4＞x²-2x+1，
解得$x＜\frac{3}{2}$，即实数x的取值范围是$（-∞，\frac{3}{2}）$…（5分）
（2）|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，
∵f（x）=|x-2|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥2}\\{3-2x，1≤x＜2}\\{1，x＜1}\end{array}\right.$，f（x）_max=1，
∴$2|a|≥1⇒|a|≥\frac{1}{2}⇒a≥\frac{1}{2}或a≤-\frac{1}{2}$．
所以a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{1}{2}，+∞）$…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立条件的应用，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．