Question

18．已知△ABC中，向量$\overrightarrow{AB}=（x，2x），\overrightarrow{AC}$=（3x，2），且∠BAC是钝角，则x的取值范围是（$-\frac{4}{3}，0$）．

Answer 1

分析 由∠BAC是钝角可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}＜0$，由已知中两个向量的坐标，代入向量数量积公式，构造不等式，分析向量反向时的情况不存在可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=（x，2x），\overrightarrow{AC}$=（3x，2），且∠BAC是钝角，
∴3x²+4x＜0，解得$-\frac{4}{3}＜x＜0$，
由$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$，得（x，2x）=λ（3x，2），
即$\left\{\begin{array}{l}{x=3λx}\\{2x=2λ}\end{array}\right.$，解得λ=0或$λ=\frac{1}{3}$，
说明两向量不存在共线反向的情况．
故x的取值范围是（$-\frac{4}{3}，0$）．
故答案为：（$-\frac{4}{3}，0$）．

点评 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中要注意分析两向量共线反向的情况，是中档题．