Question

8．下列命题中正确的有②④．（填上所有正确命题的序号）
①一质点在直线上以速度v=3t²-2t-1（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=3（s）时质点运动的路程为15（m）；
②若x∈（0，π），则sinx＜x；
③若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
④已知函数$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x}$，则$\int{\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}}f（x）dx=π$．

Answer 1

分析 利用定积分的性质可判断①④，对于②构造辅助函数，利用导数的性质求得单调区间，求得最大值，即可判断，③当y=x³，f′（0）=0，单x=0不是函数的极值点．

解答 解：由定积分的物理意义可知：从时刻t=0（s）到t=1（s）时质点速度为负，从时刻t=1（s）到t=3（s）时质点速度为正，
∴质点运动的路程${∫}_{0}^{1}$（|3t²-2t-1|）dx+${∫}_{1}^{3}$（3t²-2t-1）dx=1+16=17（m），故①错误；
对于②设y=sinx-x，y′=cosx-1，x∈（0，π），故y′＜0，恒成立，y单调递减，故y＜0，恒成立，故sinx＜x，故②正确；
③y=x³，f′（0）=0，单x=0不是函数的极值点，故③错误；
对于④由定积分的几何意义可知：令y²=-x2+4x，
∴（x-2）²+y²=4，
${∫}_{0}^{2}f（x）dx$是以（2，0）为圆心，以2为半径的$\frac{1}{4}$圆的面积，
∴$\int{\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}}f（x）dx=π$，故④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查定积分的物理意义和几何意义，利用函数的导数判断单调性、极值和对极值的判断，属于中档题．