Question

2．函数f（x）=cosωx（ω＞0）的图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，则ω的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$或$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$或2

Answer 1

分析 根据对称中心得出ω的值，根据单调区间得出ω的范围．从而得出答案．

解答 解：∵f（x）图象关于（$\frac{3π}{4}$，0）对称，
∴cos$\frac{3πω}{4}$=0，∴$\frac{3πω}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，解得ω=$\frac{2}{3}$+$\frac{4k}{3}$，k∈Z．
令kπ≤ωx≤π+kπ，解得$\frac{kπ}{ω}$≤x≤$\frac{π}{ω}+\frac{kπ}{ω}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{ω}$]上是单调减函数．
∵f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调，
∴$\frac{π}{2}≤\frac{π}{ω}$，解得ω≤2．
又∵ω＞0，
∴ω=$\frac{2}{3}$或2．
故选：D．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．