Question

中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点为B(0，－1)，右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率k≠0的直线l与C交于M，N两点，使|BM|＝|BN|？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)由题意，b²＝1，设右焦点为F(c,0)，

则d＝＝3，即|c＋2|＝3.

解得c＝，又a²＝c²＋b²＝3，∴a²＝3.

∴所求椭圆C的标准方程为＋y²＝1.

(2)假设存在k满足条件，设l与C的交点为M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

则两式相减得

(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋(y₁＋y₂)(y₁－y₂)＝0.

设MN的中点为P(x₀，y₀)，∴k·k_OP＝－，

∵要使|BM|＝|BN|，需＋y<1.

∴k²<1且k≠0.

∴存在－1<k<0或0<k<1满足题设．