Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（一1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA，得，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）法一：设，由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，故x₂+x₁=-1，由O、M、P三点共线可知，与共线，由此能求出点M的横坐标为定值．
法二：设，由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，故x₂=-x₁-1，所以直线OP方程为：y=x₁x，直线QA的斜率为：，由此能求出点M的横坐标为定值．
解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，
则由k_OP+k_OA=k_PA，
得，（2分）
整理得轨迹C的方程为y=x²（x≠0且x≠-1），…（4分）
（Ⅱ）（方法一）设，
由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故，即x₂+x₁=-1，…（6分）
由O、M、P三点共线可知，与共线，
∴，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y=xx₁，（8分）
同理，由与共线，
∴，
即（x₂+1）[（x+1）（x₂-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₂≠-1，故（x+1）（x₂-1）-（y-1）=0，（10分）
将y=xx₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x+1）（-2-x₁）-（xx₁-1）=0，
整理得-2x（x₁+1）=x₁+1，
由x₁≠-1得，即点M的横坐标为定值．  （12分）
（方法二）
设，
由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直线OP方程为：y=x₁x①； （8分）
直线QA的斜率为：，
∴直线QA方程为：y-1=（-x₁-2）（x+1），
即y=-（x₁+2）x-x₁-1②； （10分）
联立①②，得，
∴点M的横坐标为定值．（12分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，探究点M的横坐标是否为定值．具体涉及到直线与抛物线的位置关系、抛物线的基本性质、向量知识、直线方程等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．