【题目】若数列满足:对于任意
均为数列
中的项,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列的前
项和
,求证:数列
为“
数列”;
(2)若公差为的等差数列
为“
数列”,求
的取值范围;
(3)若数列为“
数列”,
,且对于任意
,均有
,求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:(1)先利用项和公式计算出an=4n-2,再利用“ 数列”证明.(2)利用“
数列”的性质求
的取值范围.(3)先证明数列{an}为等差数列,再转化an<a
-a<an+1,再转化为n(2t2-t)>t2-3t+1,n(t-2t2)>2t-t2-1,分析得到公差t=
,求出数列
的通项公式.
详解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,
又a1=S1=2=4×1-2,所以an=4n-2.
所以an+|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2为数列{an}的第n+1项,
因此数列{an}为“T 数列”.
(2)因为数列{an}是公差为d的等差数列,
所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1) d+|d|.
因为数列{an}为“T 数列”,
所以任意n∈N*,存在m∈N*,使得a1+(n-1) d+|d|=am,即有(m-n) d=|d|.
①若d≥0,则存在m=n+1∈N*,使得(m-n) d=|d|,
②若d<0,则m=n-1.
此时,当n=1时,m=0不为正整数,所以d<0不符合题意. 综上,d≥0.
(3)因为an<an+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.
又因为an<an+an+2-an+1=an+2-(an+1-an)<an+2,且数列{an}为“T数列”,
所以an+an+2-an+1=an+1,即an+an+2=2an+1,
所以数列{an}为等差数列.
设数列{an}的公差为t(t>0),则有an=1+(n-1)t,
由an<a-a<an+1,得span>1+(n-1)t<t[2+(2n-1)t]<1+nt,
整理得n(2t2-t)>t2-3t+1, ①
n(t-2t2)>2t-t2-1. ②
若2t2-t<0,取正整数N0>,
则当n>N0时,n(2t2-t)<(2t2-t) N0<t2-3t+1,与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾,
因此2t2-t≥0.
同样根据②式可得t-2t2≥0,
所以2t2-t=0.又t>0,所以t=.
经检验当t=时,①②两式对于任意n∈N*恒成立,
所以数列{an}的通项公式为an=1+ (n-1)=
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“微信运动”已经成为当下热门的健身方式,韩梅梅的微信朋友圈内有800为好友参与了“微信运动”.他随机抽取了50为微信好友(男、女各25人),统计其在某一天的走路步数.其中女性好友的走路步数数据记录如下:
12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860
8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980
1123 1786 2436 3876 4326
男性好友走路步数情况可以分为五个类别(0-2000步)(说明:“0-2000”表示大于等于0,小于等于2000,下同),
(2001-5000)、
(5001-8000)、
(8001-10000步)、
(10001步及以上),且
三中类型的人数比例为
,将统计结果绘制如图所示的柱形图.
若某人一天的走路步数超过8000步则被系统评定为“积极型”,否则被系统评定为“懈怠型”.
(1)若以韩梅梅抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的800名好友中,每天走路步数在5001-10000步的人数;
(2)请根据选取的样本数据完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | 25 | ||
女 | 25 | ||
总计 | 30 |
(3)若从韩梅梅当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查,然后再从这5位好友中选取2人进行访谈,求至少有一位女性好友访谈的概率.
参考公式:,其中
.
临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有下列说法:
①若某商品的销售量(件)关于销售价格
(元/件)的线性回归方程为
,当销售价格为10元时,销售量一定为300件;
②线性回归直线一定过样本点中心
;
③若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1;
④在残差图中,残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适,与带状区域的宽度无关;
⑤在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,
越接近于1,表示回归的效果越好;
其中正确的结论有几个( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图所示的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
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【题目】已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】(1)证明略;(2)直线的方程为
,圆
的方程为
.或直线
的方程为
,圆
的方程为
试题分析:(1)设出点的坐标,联立直线与抛物线的方程,由斜率之积为可得
,即得结论;(2)结合(1)的结论求得实数
的值,分类讨论即可求得直线
的方程和圆
的方程.
试题解析:(1)设,
.
由 可得
,则
.
又,故
.
因此的斜率与
的斜率之积为
,所以
.
故坐标原点在圆
上.
(2)由(1)可得.
故圆心的坐标为
,圆
的半径
.
由于圆过点
,因此
,故
,
即,
由(1)可得.
所以,解得
或
.
当时,直线
的方程为
,圆心
的坐标为
,圆
的半径为
,圆
的方程为
.
当时,直线
的方程为
,圆心
的坐标为
,圆
的半径为
,圆
的方程为
.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数.
(1)若,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,,求m的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格).
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