Question

已知a、b、c是正数，求证：

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

＜a+b+c+3．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：令t=

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

，则t²=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2

2a+1

•

2b+1

+2

2a+1

•

2c+1

+2

2b+1

•

2c+1

，利用基本不等式可求得t²≤6（a+b+c）+9，而易证[（a+b+c）+3]²-[6（a+b+c）+9]＞0，从而可使原结论得证．

解答： 证明：令t=

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

，
则t²=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2

2a+1

•

2b+1

+2

2a+1

•

2c+1

+2

2b+1

•

2c+1

，
∵（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）=2（a+b+c）+3，
2

2a+1

•

2b+1

+≤（2a+1）+（2b+1），
2

2a+1

•

2c+1

+≤（2a+1）+（2c+1），
2

2b+1

•

2c+1

≤（2b+1）+（2c+1），
∴t²≤6（a+b+c）+9（当且仅当x=y=z=1时取“=”），
又a、b、c是正数，[（a+b+c）+3]²-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）²+6（a+b+c）+9-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）²＞0，
∴t²＜[（a+b+c）+3]²，
∴t＜a+b+c+3，即

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

＜a+b+c+3．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与创新思维、逻辑思维能力，属于难题．