Question

已知△ABC的三角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且三边a，b，c成等差数列，b=4，C=2A．
（1）求cosA；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用a，b，c成等差数列，可得a+c=2b，从而可得sinA+sinC=2sinB，进一步可得（4cosA-3）（2cosA+1）=0，即可得出结论；
（2）由正弦定理可得a=

bsinA

sinB

，再求出c，利用S_△ABC=

1

2

bcsinA，可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵a，b，c成等差数列，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
∵C=2A，
∴sinA+sin2A=2sin3A，
∴sinA+2sinAcosA=2（3sinA-4sin³A），
∴（4cosA-3）（2cosA+1）=0，
∴cosA=

3

4

（负值舍去）；
（2）由正弦定理可得a=

bsinA

sinB

=

b

3-4sin2A

=

16

5

，
∴c=8-

16

5

=

24

5

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•4•

24

5

•

7

4

=

12 7

5

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．