Question

已知x，y满足约束条件

x-y+6≥0 x≤3 x+y+k≥0

，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z的值等于6求得k的值．

解答： 解：由约束条件

x-y+6≥0 x≤3 x+y+k≥0

作可行域如图，

图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域，
当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域．
由z=2x+4y，得直线方程y=-

1

2

x+

z

4

，
由图可知，当直线y=-

1

2

x+

z

4

过可行域内的点A时，z最小．
联立

x=3 x+y+k=0

，得A（3，-k-3）．
∴z_min=2×3+4（-k-3）=-4k-6=6，解得k=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．