Question

13．设数列{a_n}的前n项和S_n，${a_1}=1，{a_n}=\frac{S_n}{n}+2（n-1）（n∈{N^*}）$
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求a_n与S_n；
（2）是否存在自然数n，使得${S_1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_n}{n}-{（n-1）^2}=2015？$，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）${a_1}=1，{a_n}=\frac{S_n}{n}+2（n-1）（n∈{N^*}）$，即na_n=S_n+2n（n-1），n≥2时，可得：na_n-（n-1）a_n-1=a_n+4（n-1），a_n-a_n-1=4，利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）由（1）可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1，利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵${a_1}=1，{a_n}=\frac{S_n}{n}+2（n-1）（n∈{N^*}）$，即na_n=S_n+2n（n-1），
∴n≥2时，（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）（n-2），可得：na_n-（n-1）a_n-1=a_n+4（n-1）．
∴a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为4，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=2n²-n．（n∈N^*）．
（2）由（1）可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1，
∴S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）²=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-（n-1）²=2n-1，
令2n-1=2015，解得n=1008，
故存在自然数n=1008．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．