Question

【题目】如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．

（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；

（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

Answer 1

【答案】（1），定义域是．（2）百万

【解析】

（1）以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，利用直线与圆相切得到，再代入这一关系中，即可得答案；

（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案；

以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．

设，则，，．

因为，

所以直线的方程为，

即，

因为圆与相切，所以，

即，从而得，

在直线的方程中，令，得，

所以，

所以

当时，，设锐角满足，则，

所以关于的函数是，定义域是．

（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．

令，得，设锐角，满足，得．

列表：

		0
	减	极小值	增

所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．