Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=-

5

13

．
（1）若2sinA，sinB，2sinC成等比数列，S△ABC=

6

13

，求a，c的等差中项；
（2）若cosC=

4

5

，

AC

•

AB

=14，求a．

Answer 1

分析：（1）可得sin²B=4sinA•sinC，由正弦定理可得b²=4ac，又S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

ac

1-cos2B

=

6

13

，综合可得：a+c=

2 221

13

，由等差中项的定义可得；
（2）由已知可得sinB=

12

13

，sinC=

3

5

，cosA=

56

65

，进而可得bc=

4

65

，由(

a

sinA

)2=

bc

sinB•sinC

代入数据可得a值．

解答：解：（1）因为2sinA，sinB，2sinC成等比数列，所以sin²B=4sinA•sinC，
由正弦定理可得b²=4ac，又S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

ac

1-cos2B

=

6

13

，
∴ac=1，b=2，又由b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB
综合可得：a+c=

2 221

13

，
所以a，c的等差中项为

221

13

（2）∵

AC

•

AB

=bccosA=14…①，
由cosB=-

5

13

得：sinB=

12

13

；
由cosC=

4

5

得：sinC=

3

5

，
∴cos(B+C)=-

5

13

×

4

5

-

12

13

×

3

5

=-

56

65

，
∴cosA=

56

65

代入①得：bc=

4

65

；
又∵(

a

sinA

)2=

bc

sinB•sinC

，
∴sinA=

1-cos2A

=

33

65

∴a²=

4

65

×(

33

65

)2÷(

12

13

×

3

5

)
开方可得a=

11

65

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及三角形正余弦定理的应用，属中档题．