Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=l，数列{b_n}满足首项b₁=3，且b_n=a_n•a_n+1（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列•

Answer 1

分析：（1）由a₁=l，b₁=3，且b_n=a_n•a_n+1（n∈N*），令n=1求得a₂，因为数列{a_n}为等比数列，所以利用

a2

a1

得到公比，根据等比数列的性质写出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）根据b_n=a_n•a_n+1求出

bn+1

bn

的值为常数，得到数列{b_n}是等比数列．

解答：解：（1）∵b_n=a_n•a_n+1，a₁=1，b₁=3，
∴b₁=a₁•a₂
∴a₂=3
又∵数列{a_n}是等比数列，
∴a₂=a₁q
∴q=3
∴a_n=3^n-1；
（2）∵b_n=a_n•a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

3n+1

3n-1

=3²
又∵b₁=3
∴数列{b_n}是以首项b₁=3，公比q=9的等比数列．

点评：考查学生灵活运用等比数列通项公式的能力，以及会判断一个数列为等比数列．