Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1），设函数g(x)=f(x-

1

2

)+1．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求g（x）+g（1-x）及g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )的值；
（3）是否存在正整数a，使不等式

a •g(n)

g(1-n)

＞n2对一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整数a的最小值；不存在，说明理由；
（4）结合本题加以推广：设F（x）是R上的奇函数，请你写出一个函数G（x）的解析式；并根据第（2）小题的结论，猜测函数G（x）满足的一般性结论．

Answer 1

分析：（1）本小题中的由奇函数的定义可知，只须验证f（-x）=-f（x），由此即可得到正确答案；
（2）由（1）知f（0）=0，所以g(

1

2

)=f(0)+1=1以及g（x）+g（1-x）=2，从而求得g( 0 )+g(

1

4

)+g(

1

2

)+g(

3

4

)+g( 1 )的值；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在正整数a，使

a •g(n)

g (1-n)

＞n2对一切n∈N^*都成立，再利用二项式定理（解法一）或者数学归纳法（解法二）进行证明，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（4）如设F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可，则函数G（x）满足的一般性结论为G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b等．

解答：解：（1）任取x∈R，于是f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，所以f（x）是奇函数． …（3分）
（2）由（1）知f（0）=0，所以g(

1

2

)=f(0)+1=1，…（4分）
g(x)+g(1-x)=f(x-

1

2

)+f(-x+

1

2

)+2=2．…（6分）g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )=g( 0 )+g( 1 )+g( 

1

4

 )+g( 

3

4

 )+g( 

1

2

 )=2+2+1=5．
（3）假设存在正整数a，使

a •g(n)

g (1-n)

＞n2对一切n∈N^*都成立．
由g(n)=

2an

an+ a

，g(1-n)=1-g(n)=

2 a

a +an

，得

a •g(n)

g (1-n)

=

a •2an

2 a

=an．…（10分）
当a=1和a=2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．…（11分）
猜想当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…（12分）
下面证明3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立：
①当n=1时，显然3＞1．
②当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．（14分）
则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…（15分）
证法二：
①当n=1时，3＞1，当n=2时，9＞4，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时，3^k＞k²，
则当n=k+1时，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…（14分）
则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…（15分）
（4）如设F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…（16分）
则函数G（x）满足的一般性结论为G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…（18分）
形如设G（x）=F（x-a）+b．G（x）满足的性质为：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．
或G(x)=F( x-

1

2

 )+b则G( 0 )+G( 

1

n

 )+G( 

2

n

 )+G( 

3

n

 )+…+G( 1 )=(n+1)b等…（18分）

点评：本题考查函数奇偶性的性质、指数函数综合题、二项式定理或者数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．