Question

【题目】已知函数，其中为实数.

（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数的导函数在上有零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）最大值91，最小值；（2）答案见解析；（3）

【解析】

（1）当时，求出，利用导数判断在上的单调性，再确定最大值最小值即可；

（2）求出，判断时两个根的关系，再分类讨论求出的单调区间；

（3）由一元二次函数的性质讨论对称轴在区间内和两侧两种情况，分别求出的范围，再求并集即可.

（1）由题意，当时，，

所以，由，解得，，

，解得，，解得，或，

又，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上有极小值即最小值，

，，所以最大值为；

（2）由题意，，

，解得，

①当，即时，恒成立；

②当，即时，

，解得，，解得，或；

③当，即时，

，解得，，解得，或；

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

（3）由（2）知，,

函数的对称轴为，

①当对称轴在区间内时，只需，

而，

所以，即；

②当对称轴在区间两侧时，此时

只需，

，

解得

所以，

综上，