Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（3）若，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调减区间是，增区间是；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据解析式求出g（x）的定义域和g′（x），再求出临界点，求出g′（x）<0和g′（x）>0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；

（2）先求出f（x）的定义域和f′（x），把条件转化为f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再对f′（x）进行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；

（3）先把条件等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入进行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，结合（2）求出的a的范围对a进行讨论：和，分别求出f′（x）在[e，e2]上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较．

由已知函数的定义域均为，且

（1）函数，则，

当且时，；当时，.

所以函数的单调减区间是，增区间是；

（2）因在上为减函数，故在上恒成立，

所以当时，，

又，

故当，即时，,

所以于是，故的最小值为；

（3）命题“若使成立”等价于：

“当时，有”，

由（2），当时，，∴，

问题等价于：“当时，有”，

①当时，由（2），在上为减函数，

则，故.

②当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即.

由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，，.

所以，，与矛盾，不合题意.

综上，得.