Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点P。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A.B两点，求弦AB的长。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（），即可求得椭圆C的方程；（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．

(1) 设椭圆方程为，椭圆的半焦距为c，

∵椭圆C的离心率为，

∴，∴，①

∵椭圆过点（），

∴②

由①②解得：b2=，a2=4

∴椭圆C的方程为．

(2) 设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．

由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，

∴F（，0）．

直线l的方程为y=x﹣．

联立，得5x2﹣8x+8=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴|AB|=

==．