【题目】已知原命题是“若则
”.
(1)试写出原命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断所写命题的真假;
(2)若“”是“
”的必要不充分条件,求实数
的取值范围.
【答案】(1)逆命题:“若则
”,假命题;否命题:“若
则
”,假命题;逆否命题:“若
则
”,真命题;(2)
【解析】
(1)根据逆命题,否命题,逆否命题的定义,可得逆命题,否命题,逆否命题,求解对应不等式的范围,以及原命题,逆否命题同真假,逆命题否命题同真假,可得解;
(2)若“”是“
”的必要不充分条件,则不等
的解
构成的集合为
的解集的真子集.分
,
,
三种情况讨论即得解.
(1)根据逆命题,否命题,逆否命题的定义,
逆命题:“若则
”;
否命题:“若则
”;
逆否命题:“若则
”.
即:
;
即:
可得:原命题“若则
”是真命题,
逆命题“若则
”是假命题,
根据原命题,逆否命题同真假,逆命题否命题同真假,可得:逆否命题为真,否命题为假.
(2)若“”是“
”的必要不充分条件,则不等式
的解
构成的集合为
的解集的真子集.
对应方程的根为
若,不等式的解为
,不成立;
若,不等式的解为
,不成立;
若,不等式的解为
,若
构成的集合是
构成的集合的真子集,则
.
综上:实数的取值范围是
.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数)曲线
的普通方程为
,以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线
的极坐标方程;
(2)射线:
依次与曲线
和曲线
交于
、
两点,射线
:
依次与曲线
和曲线
交于
、
两点,求
的最大值.
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【题目】已知以为首项的数列
满足:
(1)当,
时,求数列
的通项公式;
(2)当,
时,试用
表示数列
前100项的和
;
(3)当(
是正整数),
,正整数
时,判断数列
,
,
,
是否成等比数列?并说明理由.
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【题目】已知椭圆的焦点坐标是,过点
且垂直于长轴的直线交椭圆于
两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于不同的两点
,问三角形
内切圆面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及此时直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线与抛物线
相交于
两点,
为坐标原点,直线
与
轴相交于点
,且
.
(1)求证:;
(2)求点的横坐标;
(3)过点分别作抛物线的切线,两条切线交于点
,求
.
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