Question

【题目】已知椭圆的焦点坐标是，过点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，问三角形内切圆面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；；

【解析】

（1）由通径长度可求得，再结合即可求解；

（2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程可得关于的一元二次方程，求解出韦达定理，又由几何性质可得，，再由三角形的内切圆的面积公式，内切圆面积为，结合三个关系式可知，要使最大，即使最大，最终结合换元法和对勾函数可求最值；

设，代入标准方程可得，又，

故，又，求得，故椭圆的标准方程为：；

（2）由题可知要使三角形内切圆面积最大，即使内切圆半径最大，而三角形面积的两个等价公式有①，②，

其中，联立两式可得，设过的直线方程为，显然直线斜率不为0，联立

，则，

令，则，由对勾函数性质可知，当且仅当时，即时，取到最小值，又，时，单增，故，，，

此时，直线方程为：