Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，上顶点为，过的直线交椭圆于、.当与重合时，与的面积分别为、.

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上找一点，当变化时，为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）轴上存在一定点，当变化时，为定值.

【解析】

（1）作轴于，由题意得出，可得出、的值，从而得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程得出，，再结合的面积求出的值，从而可得出椭圆的方程；

（2）设点、、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算结合韦达定理计算，由此得出当时，为定值.

（1），作轴于，则，，

因此的坐标为，

把点代入椭圆，有，故，.

的面积为，则，即，解得.

因此，椭圆的方程为；

（2）设点、、，设直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.

由韦达定理得，.

，，

，

当时，即当时，为定值.

当轴时，可设，此时.

故轴上存在一定点，当变化时，为定值.