【题目】如图,在四棱锥中,底面
是圆内接四边形,
,
,
.
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)若点在平面
内运动,且
平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,交
于点
,连接
,先通过证明
,
得出
平面
,再根据面面垂直的判定定理由
平面
证明平面BED⊥平面
即可;(2)取
的中点
,
的中点
,先通过平面
//平面
得出点
在线段
上,然后建立空间直角坐标系并设
,从而求出平面
的法向量
及
的坐标,设直线
与平面
所成的角为
,则
,最后根据
即可求出
的最大值.
(1)证明:如图,连接,交
于点
,连接
,
因为,
,
,
所以,易得
,
所以,
所以.
又,
,所以
⊥平面
,
又平面
,所以
.
又底面是圆内接四边形,
因为,
在中,由
,
,可得
,
,
所以,
,
易得与
相似,所以
,
即.
又、
平面
,
,
所以平面
,
又平面
,所以平面BED⊥平面
.
(2)解:如图,取的中点
,
的中点
,连接
,
,
,
则,由(1)知,
,即
,
所以为正三角形,所以
,又
,
所以平面//平面
,
所以点在线段
上.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,即
,
令,则
,
设,可得
,
设直线与平面
所成的角为
,
则,
因为,所以当
时,
取得最大值
.
故直线与平面
所成角的正弦值的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的焦点坐标是,过点
且垂直于长轴的直线交椭圆于
两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于不同的两点
,问三角形
内切圆面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及此时直线的方程;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以下四个命题:①命题“若,则
”的逆否命题为“若
,则
”;②“
”是“
”的充分不必要条件; ③若
为假命题,则
均为假命题;④对于命题
使得
,则
为
,均有
.其中,真命题的个数是 ( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,,
,
,
,平面
平面ABC.
(1)求证:平面PBC;
(2)求二面角P-AC-B的余弦值;
(3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体的棱长为1,线段
上有两个动点
,且
,现有如下四个结论:
;
平面
;
三棱锥
的体积为定值;
异面直线
所成的角为定值,
其中正确结论的序号是______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的两个焦点分别为
和
,短轴的两个端点分别为
和
,点
在椭圆
上,且满足
,当
变化时,给出下列三个命题:
①点的轨迹关于
轴对称;②
的最小值为2;
③存在使得椭圆
上满足条件的点
仅有两个,
其中,所有正确命题的序号是__________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com