【题目】如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,现有如下四个结论:
;平面;
三棱锥的体积为定值;异面直线所成的角为定值,
其中正确结论的序号是______.
【答案】
【解析】
对于①,可由线面垂直证两线垂直;对于②,可由线面平行的定义证明线面平行;对于③,可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值;对于④,可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值.
对于①,由,可得面,故可得出,此命题正确;
对于②,由正方体的两个底面平行,在平面内,故与平面无公共点,故有平面,此命题正确;
对于③,为定值,到距离为定值,所以三角形的面积是定值,又因为点到面距离是定值,故可得三棱锥的体积为定值,此命题正确;
对于④,由图知,当与重合时,此时与上底面中心为重合,则两异面直线所成的角是,当与重合时,此时点与重合,则两异面直线所成的角是,此二角不相等,故异面直线所成的角不为定值,此命题错误.
综上知①②③正确,故答案为①②③
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【题目】已知点M在椭圆上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(Ⅰ)若圆M与y轴相切,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若圆M与y轴相交于A,B两点,且是边长为2的正三角形,求椭圆的方程.
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【题目】下列四种说法中:
①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
②相等的线段在直观图中仍然相等
③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
④用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了50名市民,得到数据如下表:
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?(保留小数点后3位)
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人作进一步调查,将这3位市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)
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【题目】某单位鼓励员工参加健身运动,推广了一款手机软件,记录每人每天走路消耗的卡路里;软件的测评人员从员工中随机地选取了40人(男女各20人),记录他们某一天消耗的卡路里,并将数据整理如下:
(1)已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题中数据完成下面的列联表,并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关?
(2)若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布,现在测评人员从所有员工中任选2人,其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有人,超过210千卡的有人,设,求的分布列及数学期望.
附: ,其中.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】在四棱椎中,底面为矩形,平面平面, , , 为线段上一点,且,点, 分别为线段, 的中点.
(1)求证: 平面;
(2)若平面将四棱椎分成左右两部分,求这两部分的体积之比.
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