Question

【题目】已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．

（Ⅰ）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若圆M与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）设，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F，可知．由圆M与y轴相切，得．两者联立即可得出参数a，c的二元齐次方程，进而得到离心率e的方程，从而求解．（Ⅱ）由已知得，，，，然后结合即可求出a，b的值即可．

试题解析：（Ⅰ）设，圆M的半径为r，依题意得

将代入椭圆方程得：，所以，又，

从而得，两边除以得：

解得：，因为，所以．

（Ⅱ）因为是边长为2的正三角形，所以圆M的半径，

M到圆y轴的距离，又由（1）知：，，

所以，，，又因为，解得：，

，

所求椭圆方程是：．