Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范围．

Answer 1

分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．
（2）利用奇偶性的定义，看f（-x）和f（x）的关系，注意到

1+x

1-x

和

1-x

1+x

互为倒数，其对数值互为相反数；
也可计算f（-x）+f（x）=0得到．
（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．

解答：解：（1）由对数函数的定义知

1+x

1-x

＞0．如果

1+x＞0 1-x＞0

，则-1＜x＜1；
如果

1+x＜0 1-x＜0

，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（-1，1）
（2）∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（3）（ⅰ）对a＞1，log_a

1+x

1-x

＞0等价于

1+x

1-x

＞1，①
而从（1）知1-x＞0，故①等价于1+x＞1-x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log_a

1+x

1-x

＞0等价于
0＜

1+x

1-x

＜1．②
而从（1）知1-x＞0，故②等价于-1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．

点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．