Question

已知函数f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值.

   （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

   （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：

   （I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即…………………………………………2分

        解得a=1，b=0.

        ∴f(x)=x³－3x.……………………………………………………4分

   （II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2……………………………………6分

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x) －f_min(x)|

|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4………………………………8分

   （III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

         ∵曲线方程为y=x³－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为

，

整理得.

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根.……………………10分

设g(x­₀)= ，则g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x₀)= 的极值点为x₀=0，x₀=1………………12分

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3<m<－2.

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……………………14分