Question

13．已知函数f（x）=xe^x-ax²-x；
（1）若f（x）在x=-1处取得极值，求a的值及f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），得到f′（-1）=0，解出即可；
（2）当x＞1时，f（x）＞0，转化为a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，设g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，（x＞1），则利用导数求出g（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
若f（x）在x=-1处取得极值，则f′（-1）=2a-1=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，f′（x）=（x+1）e^x-x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）x＞1时，f（x）=xe^x-ax²-x＞0，即a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，（x＞1）
∴g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，+∞）递增，
g（x）＞g（1）=e-1，
∴a≤e-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法解决，转化成求函数的最值问题，涉及了利用导数求函数的最值，属于中档题．