Question

18．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）若k∈Z，且k＜$\frac{f（x）+x}{x-1}$对任意的x＞1恒成立，试求k的最大值；
（3）若方程f（x）+x²=mx²在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数即得极大值；
（2）通过分析，问题转化求g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，在x∈（1，+∞）上的最小值点，计算即可．
（3）通过分析得函数p（x）=$\frac{lnx}{x}$+1与y=m在区间[1，e²]上有且仅有一个交点，利用p（x）的单调性，比较p（1）、p（e²）的大小即可；

解答 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，x＞0，
令f′（x）=1+lnx=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
∵当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$，无最大值，
（2）令g（x）=$\frac{f（x）+x}{x-1}$=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，x＞1
则g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（1+{x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
∴k＜g（x）_min=x₀，
∵x₀∈（3，4），
∴整数k的最大值是3．
（3）方程f（x）+x²=mx²在区间[1，e²]内唯一实数解，
即xlnx+x²=mx²在区间[1，e²]内唯一实数解，
化简得$\frac{lnx}{x}$+1=m在区间[1，e²]内唯一实数解，
记p（x）=$\frac{lnx}{x}$+1，则p′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则当x∈[1，e）时，p′（x）＞0，
当x∈（e，e²]时，p′（x）＜0，
∵p（1）=1，p（e²）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴m∈[1，1+$\frac{2}{{e}^{2}}$]．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的最值，参数的取值范围考查了数学转化思想，关键是构造函数，学生思考起来有一定难度，此题属于难度较大的题目．