Question

7．如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=1，AB=4，求三棱锥D-PCM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥D-PCM的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵△PMB为正三角形，D为PB的中点，
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB
又∵AP⊥PC，PB∩PC=P，
∴AP⊥面PBC-------------------------（3分）
∵BC?面PBC，∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC，AC∩AP=A，
∴BC⊥面APC．
∵BC?面ABC，
∴平面ABC⊥平面APC-------------------------（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）题意可知，AP⊥面PBC，$PA=2\sqrt{3}$，∴$MD=\sqrt{3}$，-------------------------（8分）
${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$-------------------------（10分）
∴${V_{D-PCM}}={V_{M-PCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{4}$-------（12分）

点评 本题考查直线与平面的平行，三棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，是中档题．