Question

直线l经过P（1，1）且与双曲线x²-

y2

2

=1交于A、B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为（　　）

• A、2x-y-1=0
• B、2x+y-3=0
• C、x-2y+1=0
• D、不存在

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，M是线段AB的中点，则 

x1+x2

2

=1，k=2 与k＜

3

2

矛盾，当k不存在时，直线经过点M但不满足条件，故符合条件的直线l不存在

解答： 解：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
1）当k存在时有

y=k(x-1)+1 x2- y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    ①．
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

   
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=

2(k2-k)

2-k2

    又M（1，1）为线段AB的中点
∴

x1+x2

2

=1   即

k-k2

2-k2

=1   k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程①无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．
故选：D．

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，解题时要特别注意韦达定理的重要应用，学会判断直线与曲线位置关系的判断方法．