Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x= 时，y=f（x）有极值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c，得

f′（x）=3x2+2ax+b

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①

当x= 时，y=f（x）有极值，则f′ =0，

可得4a+3b+4=0．②

由①、②解得a=2，b=﹣4．

由于l上的切点的横坐标为x=1，

∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．

∴c=5．

（2）解：由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，

∴f′（x）=3x2+4x﹣4．

令f′（x）=0，得x=﹣2，或x= ．

∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．

在x= 处取得极小值f = ．

又f（﹣3）=8，f（1）=4．

∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为 ．

【解析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′ =0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．