Question

【题目】如图l，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)由，可得，结合可得到平面，由此得，结合利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）假设在线段上存在一点满足条件，设出点的坐标，结合对应的比例关系，通过两平面法向量的数量积为零来确定相应的参数值，进而得以确定存在性问题.

（1）因为，，，

所以平面，

因为平面，

所以，

又因为，，

所以平面BCDE.

（2）以E为原点，分别以EB，ED，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,

则，，，

所以，，

设平面的法向量，

由得，

令，得，

因为平面，

所以平面的法向量，

，

因为所求二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

（3）假设在线段BD上存在一点P，使得平面平面，

设，，则，

所以，

所以，，

设平面的法向量，

由,得，

令，得,

因为平面平面，

所以，解得，

所以在线段BD上存在点P，使得平面平面，且.