Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+3x-9．
（1）若函数f（x）在x=-3时取得极值，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（-3）=0，求出a的值，从而求出切线方程即可；
（2）问题转化为a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+3，
f′（-3）=30-6a=0，解得：a=5，
∴f（x）=x³+5x²+3x-9，
f′（x）=3x²+10x+3，
f′（0）=3，f（0）=-9，
故切线方程是：y+9=3（x-0），
即3x-y-9=0；…（6分）
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
则f′（x）=3x²+2ax+3≤0在[1，2]恒成立，
即a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，
令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，
h′（x）=-$\frac{3（x-1）（x+1）}{{2x}^{2}}$＜0在[1，2]恒成立，
∴h（x）在[1，2]递减，
h（x）_min=h（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴a≤-$\frac{15}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．