【题目】已知椭圆的方程为
(
)的离心率为
,圆
的方程为
,若椭圆
与圆
相交于
,
两点,且线段
恰好为圆
的直径.
(1)求直线 的方程;
(2)求椭圆 的标准方程.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1) 由椭圆的离心率为
,可设椭圆
的方程为
,设
,
,由线段
恰好为圆
的直径可得
,
,由于
,
,两式相减,并整理得
,∴
,根据点斜式可求得直线
的方程;(2)由(1)知
,代入
并整理得,
,根据弦长公式列方程可得
,从而得
,进而可得椭圆
的标准方程.
试题解析:(1)由 得,
∴ ,即
,∴椭圆
的方程为
,
设 ,
,∵线段
恰好为圆
的直径,
∴线段 的中点恰好为圆心
,于是有
,
,
由于 ,
,两式相减,并整理得,
有 ,∴
∴直线 的方程为
,即
。
(2)解:由(1)知 ,代入
并整理得,
,
∵椭圆 与圆
相交于
,
两点,
∴ ,解得
,
于是 ,
依题意, ,
而
∴
解得 ,满足
∴
∴所求椭圆 的标准方程
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和“点差法”的应用,属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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【题目】如图所示是函数在区间
上的图象,为了得到这个函数的图像,只要将
的图象上所有的点 ( )
A. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对于任意的
都有
,若存在,求出点
的
坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
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【题目】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从月份的
天中随机挑选了
天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天
颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 |
|
|
|
|
|
温差 | |||||
发芽数 |
()从这
天中任选
天,记发芽的种子数分别为
,
,求事件“
,
均不小于
”的概率.
()从这
天中任选
天,若选取的是
月
日与
月
日的两组数据,请根据这
天中的另
天的数据,求出
关于
的线性回归方程
.
()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过
颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(
)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式: .
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x﹣1|(a∈R).
(1)当a=﹣1时,求f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合 ,求实数a的取值范围.
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【题目】数列{an}的前n项和Sn满足 ,且a1 , a2+6,a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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