Question

已知f（x）=

a(x-1)(x-3)

（a＜0），定义域为D，任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，则实数a的值为（　　）

• A、-1
• B、-2
• C、-3
• D、-4

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数的定义域，根据任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，得到函数的最大值为2，解方程即可得到结论．

解答：解：要使函数有意义，则a（x-1）（x-3）≥0，
∵a＜0，
∴不等式等价为（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，
∴定义域D=[1，3]，
∵任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，
∴正方形的边长为2，
∵f（1）=f（3）=0，
∴函数的最大值为2，
即a（x-1）（x-3）的最大值为4，
设f（x）=a（x-1）（x-3）=ax²-4ax+3a，
∴当x=2时，f（2）=-a=4，
即a=-4，
故选：D．

点评：本题主要考查函数定义域和值域的求解和应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．