Question

已知函数F(x)=

3x-2

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（1）求F(

1

2009

)+F(

2

2009

)+…+F(

2008

2009

)；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：a1a2a3…an＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（3）观察已知函数可发现F（x）+F（1-x）=3，从而代入利用倒序相加可求
（2）由已知可得an+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

，求倒整理可构造

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，即{

1

an

}是等差数列，从而可求
（3）用放缩法证明．由（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1），即

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，从而有(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n

•

2n

2n-1

=

2n+1

2n-1

，从而可证

解答：解：（1）因为F(x)+F(1-x)=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3
所以设S=F(

1

2009

)+F(

2

2009

)+…+F(

2008

2009

)①
S=F(

2008

2009

)+F(

2007

2009

)+…+F(

1

2009

)②
①+②得：2S={F(

1

2009

)+F(

2008

2009

)}+{F(

2

2009

)+F(

2007

2009

)}+…+{F(

2008

2009

)+F(

1

2009

)}=3×2008=6024，
所以S=3012．
（2）由a_n+1=F（a_n）两边同减去1，得an+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

，
所以

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=

2(an-1)+1

an-1

=2+

1

an-1

，
所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，{

1

an-1

}是以2为公差以

1

a1-1

=1为首项的等差数列，
所以

1

an-1

=2+(n-1)×2=2n-1?an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

．
（3）用放缩法证明．
∵（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1），∴

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，
∴(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n

•

2n

2n-1

=

2n+1

2n-1

，
则an=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，
所以，a1a2a3…an＞

3 1 • 5 3 • 7 5 •…• 2n+1 2n-1

=

2n+1

．

点评：本题（1）主要考查了利用倒序求，这也是等差数列的求和公式的推导方法，其关键是F（x）+F（1-x）=3，（2）主要考查了利用构造等差数列求解通项公式．