Question

【题目】已知椭圆：过点，且以，为焦点，椭圆的离心率为.

（1）求实数的值；

（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分?若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）存在使线段和相互平分，其坐标为，或.

【解析】

(1)根据椭圆过点,离心率以及,列方程组可得答案;

(2)假设存在点满足题意,设出直线的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理得到中点坐标,根据线段和线段相互平分,得到点的坐标,将点的坐标代入椭圆方程即可得到答案.

解：（1）椭圆方程为（）过点，

.

，为椭圆的焦点，椭圆的离心率为，

，.解得，，

.

（2）由（1）有椭圆的方程为，.

假设存在点满足题意，且和相交于点.

则,,,

当直线与轴重合时，不满足题意.

设直线的方程为，，.

联立得，

，.

则，，

将代入有.

解得，，或，

故存在使线段和相互平分，其坐标为，或.