Question

【题目】已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______.

Answer 1

【答案】2.

【解析】

设A（x1，b），B（x2，b），则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b．

设A（x1，b），B（x2，b），可设x1＜x2，

则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，

∴x1（ax2+lnx2﹣3），

∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，

令y＝（1a）xlnx，

则y′＝1（x＞0），

由|AB|的最小值为2，

可得2﹣a＞0，

函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴x时，函数y取得极小值，且为最小值2，

即有（1a）ln2，即得ln0

解得a＝1，

由x2＝1，

则b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，

可得a+b＝2．

故答案为：2．