Question

【题目】在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．

（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；

（2）求二面角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．设，表示与，根据求；

（2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值的大小.

由题意可知底面，且，

以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以．

所以，，，，．

（1）设，则，所以，

．若，则，

解得，而，所以，

所以．

（2）因为，，设平面的法向量为，

则，令，则，，所以.

而平面的法向量为，

所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，

故所求二面角的余弦值的大小为.