Question

【题目】设，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在R为增函数，进而f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立可以转化为msinθ＞m﹣1，对θ的值分情况讨论，求出m的取值范围，综合即可得答案．

解：根据题意，f（x）＝2x﹣sinx，

有f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sinx）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，

又由f（x）＝2x﹣sinx，则f′（x）＝2﹣cosx＞0，则函数f（x）在R上为增函数，

若f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则有f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）

即f（msinθ）＞f（m﹣1）恒成立，

而函数f（x）为增函数，

则有msinθ＞m﹣1，

若θ，则sinθ＝1，此时msinθ＞m﹣1恒成立；

若0时，此时msinθ＞m﹣1转化为m，分析可得m＜1，

综合可得：m的取值范围是（﹣∞，1）；

故选：D．