Question

【题目】设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）设坐标原点为,为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1） , ;(2)

【解析】

（1）根据条件列方程组解得a,b，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线、OB方程，分别与抛物线、椭圆方程联立方程组解得A,B横坐标，再根据A,B横坐标和为0解斜率得A,B坐标，最后根据两点式求直线AB 方程.

(1) 由得，又有，代入，解得

所以椭圆方程为

由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在轴，且，

抛物线的方程为：

(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于

设直线方程为：，

联立方程得：，可知点的横坐标，即

因为，可设直线方程为：

连立方程得：，从而得

若线段的中点在轴上，可知，即

有，且，解得

从而得，

直线的方程：