Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足2Sn+an=1；递增的等差数列{bn}满足b1=1，b3=﹣4．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn是an ， bn的等比中项，求数列{}的前n项和Tn；
（3）若c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）当n=1时，a1=S1 ， 2S1+a1=1，解得a1=；
当n＞1时，2Sn+an=1，可得2Sn﹣1+an﹣1=1，
相减即有2an+an﹣an﹣1=0，即为an=an﹣1 ，
则an=（）n；
设递增的等差数列{bn}的公差为d，即有1+2d=（1+d）2﹣4，
解得d=2，则bn=2n﹣1；
（2）cn是an ， bn的等比中项，可得=anbn=（2n﹣1）（）n；
前n项和Tn=1+3（）2+5（）3+…+（2n﹣1）（）n；
Tn=1（）2+3（）3+5（）4+…+（2n﹣1）（）n+1；
相减可得Tn=+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）（）n+1
=+2﹣（2n﹣1）（）n+1；
化简可得前n项和Tn=1﹣（n+1）（）n；
（3）≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，即为
（2n﹣1）（）n≤t2+2t﹣2恒成立．
由ccn+12﹣=（2n+1）（）n+1﹣（2n﹣1）（）n=（）n（1﹣n）≤0，
可得数列{}单调递减，即有最大值为c12=，
则≤t2+2t﹣2，解得t≥1或t≤﹣7．
即实数t的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）．
【解析】（1）讨论n=1时，a1=S1 ， 当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得数列{an}的通项公式；再由等差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求{bn}的通项公式；
（2）运用等比数列的性质，求得=anbn=（2n﹣1）（）n；再由数列的求和方法：错位相减法，化简整理即可得到所求；
（3）由题意可得（2n﹣1）（）n≤t2+2t﹣2恒成立．判断{（2n﹣1）（）n}的单调性，可得最大值，解不等式即可得到t的范围。
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．