Question

【题目】已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆F1外切并且与圆F2内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若曲线C与x轴的交点为A1 ， A2 ， 点M是曲线C上异于点A1 ， A2的点，直线A1M与A2M的斜率分别为k1 ， k2 ， 求k1k2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），
设P（x，y），动圆P的比较为r，则|PF1|=1+r，|PF2|=5﹣r，
∴|PF1|+|PF2|=6，
∴动圆圆心P的轨迹是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，
则b2=a2﹣c2=9﹣1=8，
于是曲线C的方程为：+=1；
（Ⅱ）由（I）可知A1（﹣3，0），A2（3，0），
设M（x，y），则+=1，
于是k1k2====﹣；

【解析】（Ⅰ）通过设P（x，y）、动圆P的比较为r，利用圆与圆的位置关系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5﹣r，进而化简可知动圆圆心P的轨迹是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点、长轴长为6的椭圆，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知A1（﹣3，0）、A2（3，0），通过设M（x，y），利用+=1及k1k2=化简计算即得结论.